Question

Задание. При выполнении данного задания запишите полное решение и ответ. Решите неравенство $log_{2}(x+4) \geq log_{4x+16} 8$

Answer 1

ОДЗ:
x+4>0
4x+16≠1


$log_2(x+4) \geq log_{4x+16}8 \\ \\ log_2(x+4) \geq \frac{log_28}{log_2(4x+16)} \\ \\ log_2(x+4) \geq \frac{log_28}{log_24(x+4)} \\ \\ log_2(x+4) \geq \frac{log_28}{log_24+log_2(x+4)}$

Замена переменной
$log_2(x+4)=t$

$t\geq \frac{3}{2+t} \\ \\ t-\frac{3}{2+t} \geq0 \\ \\ \frac{t ^{2}+2t-3 }{t+2} \geq 0$

$\ \frac{(t+3)(t-1) }{t+2} \geq 0$

Методом интервалов находим ответ
                     +                          +
---------[-3]-----(-2)--------[1]--------
-3≤t<-2    или       t≥1
1)
$-3 \leq log_2(x+4)\ \textless \ -2 \\ \\ -3log_22 \leq log_2(x+4)\ \textless \ -2log_22 \\ \\ log_22 ^{-3} \leq log_2(x+4)\ \textless \ log_22 ^{-2} \\ \\ log_2{ \frac{1}{8} \leq log_2(x+4)\ \textless \ log_2{ \frac{1}{4} }$

В силу возрастания логарифмической  функции с основанием 2:
$\frac{1}{8} \leq (x+4)\ \textless \ { \frac{1}{4} } \\ \\ -3 \frac{7}{8} \leq x\ \textless \ -3 \frac{3}{4}$

2)$log_2(x+4) \geq 1 \\ \\ x+4 \geq 2 \\ \\ x \geq -2$

Ответ.$-3 \frac{7}{8} \leq x\ \textless \ -3 \frac{3}{4} ;x \geq -2$