Question

Даны арифметическая прогрессия, в которой разность отлична от 0, и геометрическая прогрессия. Известно, что 1-й, 2-й и 10-й члены арифметической прогрессии совпадают, соответственно, с 2-м, 5-м и 8-м членами геометрической прогрессии. Найдите отношение суммы 8 первых членов геометрической прогрессии к сумме 8 первых членов арифметической прогрессии.

Answer 1

a₁=b₂
a₂=b₅
a₁₀=b₈
===========
b₂=b₁q
b₅=b₁q⁴
b₈=b₁q⁷

a₁=b₁q
a₂=a₁+d=b₁q+d    
 b₁q+d=b₁q⁴   
Значит
d=b₁q⁴-b₁q
d=b₁q(q³-1)

a₁₀=a₁+9d=a₁+9b₁q(q³-1)=b₁q+9b₁q⁴-9b₁q=9b₁q⁴-8b₁q

9b₁q⁴-8b₁q=b₁q⁷

Получили уравнение

q⁶-9q³+8=0
q³=8    или  q³=1
q=2      или    q=1 (не удовлетворяет условию, прогрессии не будет)

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8 = \frac{a_1+a_8}{2}\cdot8= (2a_1+7d)\cdot4= \\ \\ =2b_1q+7(b_1q ^{4}-b_1q)=7b_1q ^{4}-5b_1q$


$b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6+b_7+b_8 = \frac{b_1(q ^{8}-1) }{q-1}$

Поэтому

$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8}{b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6+b_7+b_8 }= \frac{(7b_1q ^{4}-5b_1q)(q-1) }{b_1(q ^{8}-1) }=[q=2]= \frac{7\cdot 2 ^{4}-5\cdot2 }{2 ^{8}-1 }= \\ \\ = \frac{102}{255}= \frac{2}{5}$