Question

Восемь различных цифр от 1 до 8 расставлены в вершинах куба. На каждом ребре записан модуль разности цифр, находящихся в вершинах этого ребра. Может ли сумма всех 12 чисел на ребрах быть равной
а) 40;
б) 41?

Answer 1

а) Может. Если на вершинах верхней грани куба будут 1,2,4,6, а на вершинах нижней, соответственно 7,5,8,3 (1 над 7 и т.д.), то получаем на верних ребрах модули разностей будут равны 1,2,2,5, на нижних - 2,3,5,4 и на боковых 6,3,4,3. Сумма их всех равна 40.
б) Не может. Число x, стоящее в каждой вершине, входит в три разности (т.к. в каждую вершину входят 3 ребра). В зависимости от знака с которым раскрывается модуль, это число x может быть с "+" или с "-". То есть, в итоговой сумме, это х будет участовать в виде ±x±x±x. Какие бы не были знаки, четность этого числа совпадает с четностью числа х.  Поэтому четность итоговой суммы будет равна четности суммы 1+2+3+4+5+6+7+8=36, т.е. будет четная .Поэтому эта сумма не может быть 41.