Question

Логарифмическое неравенство 11 класс.

Answer 1

ОДЗ:
$2-x\ \textgreater \ 0 \ \Rightarrow \ x\ \textless \ 2 \\ x\ \textgreater \ 0 \\ \\ \log_{15}x-\log_{25} x \neq 0 \ \Rightarrow \ \log_{15}x \neq \log_{25}x \ \Rightarrow \ x \neq 1 \\ \\ \boxed{0\ \textless \ x\ \textless \ 1; \ \ 1\ \textless \ x\ \textless \ 2}$


$\frac{\frac{\ln(2-x)}{\ln9} - \frac{\ln(2-x)}{\ln15}}{\frac{\ln x}{\ln15} - \frac{\ln x}{\ln 25}} \leq \frac{\ln 9}{\ln 25} } \\ \\ \frac{\ln(2-x) \cdot (\ln15 - \ln9) \cdot \ln 15 \cdot \ln 25}{\ln x \cdot (\ln 25 - \ln 15) \cdot \ln 9 \cdot 15} \leq \frac{2 \ln 3}{2 \ln 5} \\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln \frac{5}{3} \cdot 2\ln5}{\ln x \cdot \ln \frac{5}{3} \cdot 2\ln 3} \leq \frac{\ln 3 }{\ln 5}$


$\\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln5}{\ln x \cdot \ln 3} \leq \frac{\ln 3 }{\ln 5}\ \\ \\ \frac{\ln (2-x) \cdot \ln^2 5}{\ln x \cdot \ln^2 3} \leq 1$

Функция $\frac{\ln (2-x) \cdot \ln^2 5}{\ln x \cdot \ln^2 3}$  убывает на всем промежутке (0<x<1 и 1<x<2) и меньше 0.

Следовательно решением будет промежуток ОДЗ (на котором функция существует): $0\ \textless \ x\ \textless \ 1 \ \cup \ 1\ \textless \ x\ \textless \ 2$