Question

Найти все а при которых это уравнение X^2-2(a+3)x+4+12=0 имеет по крайней мере один корень и каждый корень меньше единицы

Answer 1

x^2 - 2(a+3)x + (4a+12) = 0
Уравнение должно иметь хотя бы 1 корень, значит D >= 0
D/4 = (a+3)^2 - (4a+12) = a^2+6a+9-4a-12 = a^2+2a-3 = (a-1)(a+3) >= 0
Область определения: a <= -3 U a >= 1
При a = -3 получается уравнение x^2 - 0 + 4*0 = x^2 = 0; x = 0 - ДА
При a = 1 получается уравнение x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 = 0; x = 4 - НЕТ
При всех остальных а из области определения получается
x1 = (a+3) - √(a^2+2a-3) < 1
x2 = (a+3) + √(a^2+2a-3) < 1
Так как очевидно, что x1 < x2, то значение имеет только 2 неравенство
(a+3) + √(a^2+2a-3) < 1
√(a^2+2a-3) < 1 - a - 3 = -a - 2
Так как корень арифметический, то подходит только a <= -3
Возводим в квадрат обе части
a^2 + 2a - 3 < (-a - 2)^2 = a^2 + 4a + 4
-7 < 2a
a > -3,5
Ответ: -3,5 < a <= -3