Question

Найдите все натуральные числа ,делящиеся на5 и на9,имеющие ровно 10делителей (включая единицу и само число).

Answer 1

Раз делится на 9 и 5, то это число имеет вид $3^{2+n}5^{1+k}d,$ где $n,k \geq 0$ и $d \geq 1.$ Тогда число его делителей будет равно $(3+n)(2+k)t=10$, где t - число делителей числа d. Т.к. 3>2 и 2>1 и 10 можно представить только в виде 1*10 или 2*5, то обязательно 3+n=5, т.е. n=2 и 2+k=2, т.е. k=0, а также t=1, т.е. d=1. Таким образом, возможно только $3^4\cdot 5^1=405.$