Question

Пускай в трапецию ABCD (основы AD и BC) вписана окружность радиуса r. В треугольники ABC и ACD вписаны окружности с радиусами r(abc) и r(acd) соответственно. Известно, что для радиусов выполняется r:r(abc):r(acd)=9:4:6. Найти соотношения между сторонами трапеции.

Answer 1

 Если не ошибаюсь , то решение примерно такое 
Заметим что углы  $\angle BCA= \angle CAD$   как на крест лежащие 
Тогда как  $S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABCD} \\ \angle BCA=y\\ \frac{BC*AC*siny}{2} + \frac{AD*AC*siny}{2} = S_{ABCD}$ 
Обозначим так же радиусы  как $9x;4x;6x$ ,   не обобщая общности , можно взять $9;4;6$ 
Так как в трапеция вписана окружность $AB+CD=BC+AD$                  
$AC*siny(BC+AD) = 18*(BC+AD)\\ AC*siny =18$ 
С другой стороны площади треугольников через радиусы 
$S_{ABC}=(AB+BC+AC)*2 \\ S_{ACD}=(CD+AD+AC)*3$ 
 Откуда 
  $(AB+BC+AC)*2=9BC\\ (CD+AD+AC)*3=9AD$
      $AC=3.5*BC-AB \\ AC=2*AD-CD$ 
 
 Положим что $BC=x; AB=y ; AD=z; CD=n$
  Если выразить углы , из теоремы косинусов , соответственно из тех же треугольников  , получим  
    $cosBCA = \frac{53*x-28*y}{28*x-8*y} \\ cosBCA = \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z}$     
    Приравнивая 
  $\frac{53*x-28*y}{28*x-8*y}= \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z } \\ x+z= y+n \\, 3.5*x-y=2*z-n$  
  получим 
  $x=\frac{4n}{5}\\ y=\frac{17*n}{15} \\ z=\frac{4n}{3}\\ n \neq 0$ 
 Так как $cosBCA=\frac{4}{5}\\ sinBCA=\frac{3}{5}\\ AC= 18*\frac{5}{3} = 30$ 
 Откуда $n=18$ 
  
 То есть стороны равны  
  $AB=\frac{17*18}{15} = \frac{102}{5} \\ BC=\frac{4*18}{5} = \frac{72}{5}\\ AD=24 \\ CD=18$