Question

Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогресси , если сумма всех членов прогресси равна 2 , а сумма квадратов всех членов этой прогресси равна 5.

Answer 1

Для исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($b_n$) имеем по условию: $S=b_1+b_2+b_3+...=\dfrac{b_1}{1-q}=2$, где q - знаменатель исходной прогрессии.
Теперь рассмотрим прогрессию ($c_n$), составленную из квадратов членов исходной прогрессии, т.е. $c_1=(b_1)^2,\ c_2=(b_2)^2,\ c_3=(b_3)^2,\ ...$. Эта новая прогрессия - также геометрическая бесконечно убывающая. Следовательно,$\tilde{S}=c_1+c_2+c_3+...=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=5$, где $\tilde{q}$ - знаменатель уже новой прогрессии.
$\tilde{q}=\frac{(b_2)^2}{(b_1)^2}=(\frac{b_2}{b_1})^2=q^2$
Преобразуем:
$\tilde{S}=5=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=\dfrac{(b_1)^2}{1-q^2}}$
Получим систему уравнений: $\begin{cases} \frac{b_1}{1-q}=2 \\ \frac{(b_1)^2}{1-q^2}=5 \end{cases}$
Делим первое на второе и запишем в первой строке системы:
$\begin{cases} \frac{b_1(1-q)(1+q)}{(1-q)(b_1)^2}= \frac{2}{5} \\ b_1=2-2q \end{cases}$ <=> $\begin{cases} \frac{1+q}{b_1}= \frac{2}{5} \\ b_1=2-2q \end{cases}$
$\frac{1+q}{2-2q}= \frac{2}{5} \\ 5+5q=4-4q \\ 9q=- 1 \\ q=- \frac{1}{9}$
Ответ: $- \frac{1}{9}$