Question

помогите пожалуйста найти частные производные первого и второго порядка
sqrt(x+2*y)+3*(x^4)*y-8*x-2
не совсем понимаю что делать с корнем

Answer 1

$z=\sqrt{x+2y}+3x^4y-8x-2 \\ z'_x=\dfrac{1}{2 \sqrt{x+2y} }+12x^3y-8 \\ z'_y=\dfrac{2}{2 \sqrt{x+2y} }+3x^4=\dfrac{1}{\sqrt{x+2y} }+3x^4$
$z''_{xx}=( \frac{1}{2}(x+2y)^{- \frac{1}{2}} +12x^3y-8)'_x =- \frac{1}{4}(x+2y)^{- \frac{3}{2}} +36x^2y= \\ =- \frac{1}{4(x+2y) \sqrt{x+2y} } +36x^2y$
$z''_{yy}=((x+2y)^{- \frac{1}{2}} +3x^4)'_y =- \frac{1}{2}(x+2y)^{- \frac{3}{2}}=- \frac{1}{2(x+2y) \sqrt{x+2y} }$
$z''_{xy}=z''_{yx}=( \frac{1}{2}(x+2y)^{- \frac{1}{2}} +12x^3y-8)'_y =- \frac{1}{4}(x+2y)^{- \frac{3}{2}}*2 +12x^3= \\ =- \frac{1}{2(x+2y) \sqrt{x+2y} } +12x^3$