Question

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 2, точка М — середина ребра АВ, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды. Найдите расстояние от точки С до прямой MF.

Answer 1

Проведём осевое сечение пирамиды через ребро SC.
Медиана основания СМ (она же и высота) равна m = a*cos 30 = 2*√3/2 = √3. Точкой О она делится 2:1. ОМ = (1/3)СМ = √3/3 = 1/√3.
Отрезок СО = (2/3)СМ = 2√3/3 = 2/√3
Высота данной пирамиды (по заданию это правильный тетраэдр) равна Н = а(√(2/3)) = 2√2 / √3.
Отрезок ОF равен 1/4 части высоты: OF = 2√2/(√3*4) = √2/(2√3) = 1/√6.
Отрезок MF равен √(OF² + OM²) = √((1/6) + (1/3)) = √(3/6) = 1/√2.
Отрезок СК - это перпендикуляр к продолжению отрезка MF. Длина его равна расстоянию от точки С до прямой MF.
Треугольники MFO и MKC подобны по двум углам.
Отсюда СК = (МС*OF/MF) = ((√3)*(1/√6)) / (1/√2) = 1.