Question

4cos3x-cos6x=4cos9x-cos18x

Answer 1

Одно решение очевидно, х=0, а также х = π.
cos0=1, следовательно 4-1=4-1 равенство выполняется. Косинус нечетного числа π равен  -1, тогда -4+2=-4+2. Далее cos(Nπ/2) для нечетных N равен 0, для четных делящихся на 4 равен 1, просто четных равен -1. В нашем случае получается 0-1=0-1, так что еще π/2 также является решением.

Answer 2

4(cos3x-cos9x)=cos6x-cos18x
$4*(-2) sin \frac{3x-9x}{2} sin \frac{3x+9x}{2} = -2 sin \frac{6x-18x}{2} sin \frac{6x+18x}{2}$
4sin3xsin6x=sin6xsin12x
sin6x(4sin3x-sin12x)=0
sin6x=0 или 4sin3x-sin12x=0           
                     4sin3x-2sin6xcos6x=0           
                     4sin3x-4sin3xcos3xcos6x=0           
                     4sin3x(1-cos3xcos6x)=0           
                     sin3x=0 или 1-cos3x(2cos²3x-1)=0
                                          cos3x=t
                                           2t³-t-1=0
                                          (t-1)(2t²+2t+1)=0
                                           t-1=0 или 2t²+2t+1=0 
                                           t=1               решений нет
Получим:
sin6x=0 или sin3x=0 или cos3x=1
6x=Пk           3x=Пk          3х=2Пk
$x=\frac{\pi k}{6}$ или $x=\frac{\pi k}{3}$ или $x=\frac{2\pi k}{3}$
C помощью окружности можно убедиться, что серия $x=\frac{\pi k}{6}$ содержит в себе остальные серии.
Ответ: $x=\frac{\pi k}{6}, k \in Z$