Question

$y=sin^4x+cos^4x$
Найти множество значений функции

Answer 1

y=(1-cos2x)²/4+(1+cos2x)²/4=1/4(1-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x)=
=1/4(2+2cos²2x)=1/2+1/2*(1+cos4x)/2=1/2+1/4+1/4*cos4x=3/4+1/4*cos4x
E(y)∈3/4+1/4*[-1;1]=3/4+[-1/4;1/4]=[1/2;1 ]
Формулы преобразования:
sin²a=(1-cos2a)/2⇒sin^4a=(1-cos2a)²/4
cos²a=(1+cos2a)/2⇒sin^4a=(1+cos2a)²/4

Answer 2

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
$sin^4x+cos^4x=(sin^2x)^2+(cos^2x)^2=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x$$=1- \frac{1}{2} *2*2sin^2xcos^2x=1- \frac{1}{2} sin^2(2x)$
$y=1- \frac{1}{2} sin^2(2x)$
$-1 \leq sin(2x) \leq 1$
$0 \leq sin^2(2x) \leq 1$
$0 \leq\frac{1}{2} sin^2(2x) \leq \frac{1}{2}$
 $-\frac{1}{2} \leq-\frac{1}{2} sin^2(2x) \leq 0$
$\frac{1}{2} \leq1-\frac{1}{2} sin^2(2x) \leq 1$
$E(y)=[ \frac{1}{2} ;1]$