Question

Найдите сумму целых решений неравенства
$log_{2}(x-2)\ \textless \ log_{4}(x+10)$

Answer 1

$\begin{cases} x-2\ \textgreater \ 0 \\ x+10\ \textgreater \ 0 \\(x-2)^2 \ \textless \ x+10 \end{cases} \begin{cases} x\ \textgreater \ 2 \\ x\ \textgreater \ -10 \\x^2-5x-6 \ \textless \ 0 \end{cases} \begin{cases} x\ \textgreater \ 2 \\ (x+1)(x-6) \ \textless \ 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x\ \textgreater \ 2 \\ -1\ \textless \ x\ \textless \ 6 \end{cases} =\ \textgreater \ \ x \in (2;6)$
сумма целых 3+4+5=12.
Ответ: 12.

Answer 2

$log_{2}(x-2)\ \textless \ log_{4}(x+10)$
ОДЗ: 
$\left \{ {{x-2\ \textgreater \ 0} \atop {x+10\ \textgreater \ 0}} \right.$
$\left \{ {{x\ \textgreater \ 2} \atop {x\ \textgreater \ -10}} \right.$
$x$∈$(2;+$∞$)$

$log_{2}(x-2)\ \textless \ log_{2^2}(x+10)$
$log_{2}(x-2)\ \textless \ \frac{1}{2} log_{2}(x+10)$
$2log_{2}(x-2)\ \textless \ log_{2}(x+10)$
$log_{2}(x-2)^2\ \textless \ log_{2}(x+10)$
$}(x-2)^2\ \textless \ (x+10)$
$x^{2} -4x+4-x-10\ \textless \ 0$
$x^{2} -5x-6\ \textless \ 0$
$D=25+24=49$
$x_1=6$
$x_2=-1$
 решаем методом интервалов и, учитывая ОДЗ , получаем x∈(2;6)
целые решения:  3, 4, 5
3+4+5=12
Ответ: 12