Question

помогите пожалуйста
Один из углов треугольника равен 60 градусам. Точка касания вписанной окружности делит противоположную этому углу сторону на отрезки a и b. Найти площадь треугольника

Answer 1

1) Две другие стороны делятся точками касания на отрезки a, x и b, x. Если эти две точки касания соединить, то получится равносторонний треугольник, расстояние между ними тоже x. Если провести радиусы вписанной окружности в эти точки касания, то угол между ними составит 180° - 60° = 120°; поэтому радиус вписанной окружности равен r = x/√3; а площадь всего треугольника S = (a + b + x)*x/2√3 = (x^2 + x*(a + b))/2√3;
2) по теореме косинусов
(x + a)^2 + (x + b)^2 - (x + a)*(x + b) = (a + b)^2;
x^2 + x*(a + b) = 3ab; если подставить это в выражение для S, получится
S = ab√3/2;