Question

В прямоугольник abcd вписана прямоугольная трапеция abnt, bn биссектриса, bt=tc=6, ab=8, p точка пересечения диагоналей трапеции at и bn, найдите площадь треугольника pnt, an>bt(чтобы у вас чертеж правильней получился). Пожалуйста объясните поподробней!

Answer 1

 Прямоугольник здесь дан как фигура вспомогательная, указывающая на   то, что трапеция АВСD - прямоугольная, т.к. имеет с прямоугольником   общую сторону АВ.
 ВN- биссектриса, углы АВN и ТВN - равны, а ТВN и АNВ - равны как  накрестлежащие, и потому треугольник ВАН- равнобедренный.
 Сторона АN=АВ=8
 S (ABT)=AB*BT:2=6*8:2=24
 В трапеции образованные диагоналями треугольники при боковых  сторонах - равновелики, при основаниях - подобны.
 S (АВР)=S (PTN)
-------
 Рассмотрим треугольник АВТ. Он египетский (отношение катетов 3:4),  значит, AT=10 ( можно проверить по т.Пифагора)
 Высоту ВН найдем из площади треугольника АВТ:
 S (ABT)=BH*AT:2
 ВН= 2 S ABT:AT=48:10=4,8
------
 Рассмотрим треугольники ВРТ и АРN.
 Они подобны по первому признаку подобия - имеют равные вертикальные  углы при Р и равные накрестлежащие углы при секущих ВN и АТ.  Коэффициент подобия равен ВТ:АN= 6:8=3/4
 АТ=ТР+РА= 3+4=7 частей
 1 часть =10/7
 АР=4 части=АТ*4/7
 АР=10:7*4
 S ABP=AP*BH:2= (40/7)*4,8:2=96:7=13 ⁵/₇
В трапеции образованные диагоналями  треугольники при боковых сторонах - равновелики 
S PTN=S ABP=13 ⁵/₇