Question

Помогите решить систему, не могу понять что как


x^2+y^2=1
x^3+y^3=-1

Answer 1

(х+у)²=х²+2ху+у²
х²+у²=(х+у)²-2ху

(x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³
Поэтому
х³+y³=(x+y)³-3x²y-3xy²
или
х³+у³=(х+у)³-3ху(х+у)

Cистема примет вид
$\left \{ {{(x+y) ^{2}-2xy =1} \atop {(x+y)^3-3xy(x+y)=-1}} \right.$

Теперь замена переменной
х+у=u
xy=v

$\left \{ {{u ^{2}-2v =1} \atop {u ^{3}-3uv =-1}} \right.$

Выразим v из первого уравнения и подставим во второе

$\left \{ {{v = \frac{u^{2}-1 }{2} } \atop {u ^{3}-3u\cdot \frac{ u^{2}-1 }{2} =-1}} \right.$

Решаем второе уравнение

2u³-3u³+3u=-2
-u³+3u+2=0
u³-3u-2=0
u₁=-1-корень уравнения, поэтому разложим левую часть на множители
(u+1)(u²-u-2)=0
u²-u-2=0
D=1+8=9
u₂=(1-3)/2=-1    u₃=(1+3)/2=2

v₁=v₂=((-1)²-1)/2=0
v₃=(2²-1)/2=3/2=1,5

Возвращаемся к переменным х и у
$1) \left \{ {{x+y=-1} \atop {xy=0}} \right. \\ \left \{ {{y=-1} \atop {x=0}} \right. \\\left \{ {{y=0} \atop {x=-1}} \right \\ 2) \left \{ {{x+y=2} \atop {xy=1,5}} \right. \\ \\ \left \{ {{y=2-x} \atop {x(2-x)=1,5}} \right.$
2x-x²-1,5=0
2x²-4x+3=0
D=16-4·2·3<0
уравнение не имеет корней
Ответ. х=0  у=-1    или    х=-1 у=0