Question

Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f(x) = 2sinx + sin2x
на промежутке [pi/2;pi]

Answer 1

$f(x) = 2sinx + sin2x \\ f'(x) = 2cosx + 2cos2x=2(cosx+2cos^2x-1) \\ f'(x)=0\ \ \textless \ =\ \textgreater \ 2cos^2x+cosx-1=0$
$cosx=-1$ или $cosx= \frac{1}{2}$
$x= \frac{ \pi }{3} + \frac{2 \pi k}{3} ,k \in Z$
Отберем корни из [π/2; π]: x = π - стационарная точка функции f(x) в  [π/2; π].
f(π/2) = 2sin(π/2) + sin π = 2+0 =2 -наибольшее
f(π) = 2sin π + 2sin 2π = 0+0 =0 - наименьшее

Answer 2

Для начала мы найдем производную этой функции:
$y'=(2sinx + sin2x)'=2cosx+2cos2x$
Теперь приравниваем нашу производную нулю
$y'=0$
$2cosx+2cos2x=0$
$cosx+cos2x=0$
Теперь по формуле двойного угла:
$cos2x=2cos^2x-1$
$2cos^2x+cosx-1=0$
Делаем замену: cos x = t
$2t^2+t-1=0$
Находим дискриминант:
$D=1-4*2*(-1)=9=3^2$
$t_1= \frac{-1+3}{4}= \frac{1}{2}$
$t_2= \frac{-1-3}{4}=-1$
Подставим значения t1 и t2 в нашу замену
$1) cosx= \frac{1}{2}; x= \frac{ \pi }{3} + 2 \pi n$
n ∈Z
Эта точка не подходит нашему промежутку
$[ \frac{ \pi }{2}; \pi ]$$2) cosx=-1;x= \pi +2 \pi n$
n ∈Z
Эта точка уже принадлежит нашему промежутку
Подставим значение x в начальное условие:
$y( \pi )=2sin \pi + sin2 \pi =0$
Теперь найдем значения функции на концам нашего промежутка:
$y( \frac{\pi}{2})=2sin\frac{\pi}{2} + sin2\frac{\pi}{2}=2*1+0=2$
В точке (pi/2) мы уже нашли значение функции
Теперь зная 2 точки мы можем определить соответственно максимальное и минимальное значение
$y_{max}=2$
$y_{min}=0$

Ответ: наибольшее - 2; наименьшее - 0.