Question

Докажите, что многочлен x^2-4x+y^2-4y+9 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения

Answer 1

$x^2-4x+y^2-4y+9=(x^2-4x+4)+(y^2-4y+4)+1=$
$=(x-2)^2+(y-2)^2+1\ \textgreater \ 0$
т.к. все слагаемые больше 0

Answer 2

$x^2 -4x +y^2 -4y+9=(x^2 - 2\cdot 2 \cdot x + 4)+ (y^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + 4) + 1=\\ \\ = (x-2)^2 + (y -2)^2+1$

$(x-2)^2 \geq 0, \ \ (y-2)^2 \geq 0$

(то есть при минимальное значение функция принимает при $x=2$ и будет равна 1)