Question

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС биссектриса угла BAD проходит
через середину М стороны CD. Известно, что АВ = 5, АМ = 4. Найдите длину
отрезка ВМ

Answer 1

Трапеция АВСД, АД||ВС, <ВАМ=<ДАМ, АВ=5, АМ=4. 
Продолжим АМ до пересечения со стороной ВС, точка их пересечения Е.
Полученный ΔАВЕ: углы при основании <ВАЕ=<ВЕА (<ДАЕ=<ВЕА как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АЕ), значит ΔАВЕ - равнобедренный (АВ=ВЕ=5).
ΔАМД и ΔЕМС равны по трем углам (накрест лежащие углы<ДАМ=<СЕМ и <АДМ=<ЕСМ, вертикальные углы <ЕМС=<АМД), значит АМ=МЕ=4.
Следовательно в ΔАВЕ ВМ является медианой, проведенной к основанию АЕ, а значит и биссектрисой, и высотой.
ВМ²= АВ²-АМ²=25-16=9
ВМ=3