Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями:у=4х-х в квадрате -4,и осями координат

Answer 1

у=4х-x²- 4 парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке (2;0), так как
4х-x²- 4=-(х-2)²

Фигура, площадь которой надо найти- криволинейный треугольник, расположенный  в четвертой четверти и ограниченный осями координат и левой ветвью параболы у=-(х-2)²
Её площадь численно равна площади криволинейного треугольника расположенного в первой четверти и ограниченного осями координат и параболой у=(х-2)².
Площадь такой фигуры находят с помощью определенного интеграла

$S= \int\limits^2_0 {(x-2) ^{2} } \, dx= \int\limits^2_0 {(x-2) ^{2} } \, d(x-2)= (\frac{(x-2) ^{3} }{3})^2_0=0-(- \frac{8}{3})=2 \frac{2}{3}$
кв. ед.