Question

Для каких натуральных n число (а2+в2)n (в степени n) , где а и в- различные натуральные числа, является суммой квадратов двух натуральных чисел?

Answer 1

Это верно при всех натуральных n. Можно доказать по индукции. При n=1 это очевидно верно, т.к. $(a^2+b^2)^1=a^2+b^2.$ Предположим, что это верно при n, т.е. верно $(a^2+b^2)^n=c^2+d^2.$ Тогда
$(a^2+b^2)^{n+1}=(c^2+d^2)(a^2+b^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.$
Т.е. по этим формулам для всех степеней n можно последовательно получать представления в виде суммы квадратов из любой начальной пары а и b. Например, пусть a=1, b=2.
$(1^2+2^2)^1=1^2+2^2$
$(1^2+2^2)^2=3^2+4^2$
$(1^2+2^2)^3=5^2+10^2$
$(1^2+2^2)^4=15^2+20^2$
$(1^2+2^2)^5=25^2+50^2$
и т.д.