Question

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СМ и AN. Известно, что AC=2, а площадь круга, описанного около треугольника MBN, равна $\frac{ \pi }{3}$. Найдите угол между высотой CM и стороной ВС

Answer 1

Пусть Д —‍ точка пересечения высот СМ и АN ΔABC.‍ Из точек М и N отрезок BД виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BД (это и есть окружность, описанная около ΔМВN с радиусом R).
Площадь окружности S=πR², откуда  R²=S/π=π/3π=1/3
R=1/√3.
Отрезок AС‍ виден из точек М‍ и N‍ под прямым углом, значит точки М‍ и N‍ лежат на окружности с диаметром AС.‍ По условию <AВС острый, т.е. меньше 90‍°.‍ 
Тогда <AСВ =<AСN = 180‍°-<AMN =<BMN.‍
Значит ΔCBА и ΔMBN подобны по 2 углам, тогда МВ/СВ=ВN/ВА=МN/АС.
Из прямоугольного ΔВА‍N найдем ВN/ВА=cos B.
МN/АС=cos B
MN=2cos B.
Также по теореме синусов MN=2R*sin B=2sin B/√3
Приравниваем 2cos B=2sin B/√3
sin B/cos B=√3
tg B=√3
<B=60°
Значит <ВСМ=180-90-60=30°
Ответ: 30°