Question

Подробное решение системы шести уравнений с шестью переменными:

A+B+D=0
13A+12B+C+11D+E=0
67A+56B+10C+47D+8E+F=0
171A+126B+36C+97D+23E+5F=0
216A+135B+54C+96D+28E+8F=0
108A+54B+27C+36D+12E+4F=1

Answer 1

$\left\{\begin{array} A+B+D=0\ \ \ (1) \\ 13A+12B+C+11D+E=0 \\ 67A+56B+10C+47D+8E+F=0 \\ 171A+126B+36C+97D+23E+5F=0 \\ 216A+135B+54C+96D+28E+8F=0 \\ 108A+54B+27C+36D+12E+4F=1 \end{array}\right.$

Из уравнения (1) выражаем переменную A и подставляем ее в остальные уравнения:
$\left\{\begin{array} A=-B-D\ \ \ (2) \\ 13(-B-D)+12B+C+11D+E=0 \\ 67(-B-D)+56B+10C+47D+8E+F=0 \\ 171(-B-D)+126B+36C+97D+23E+5F=0 \\ 216(-B-D)+135B+54C+96D+28E+8F=0 \\ 108(-B-D)+54B+27C+36D+12E+4F=1 \end{array}\right.$

Раскрываем скобки:
$\left\{\begin{array} -13B-13D+12B+C+11D+E=0 \\ -67B-67D+56B+10C+47D+8E+F=0 \\ -171B-171D+126B+36C+97D+23E+5F=0 \\ -216B-216D+135B+54C+96D+28E+8F=0 \\ -108B-108D+54B+27C+36D+12E+4F=1 \end{array}\right.$

Приводим подобные слагаемые:
$\left\{\begin{array} -B+C-2D+E=0\ \ \ (3) \\ -11B+10C-20D+8E+F=0 \\ -45B+36C-74D+23E+5F=0 \\ -81B+54C-120D+28E+8F=0 \\ -54B+27C-72D+12E+4F=1 \end{array}\right.$

Из уравнения (3) выражаем переменную B и подставляем ее в остальные уравнения:
$\left\{\begin{array} B=C-2D+E \ \ \ (4) \\ -11(C-2D+E)+10C-20D+8E+F=0 \\ -45(C-2D+E)+36C-74D+23E+5F=0 \\ -81(C-2D+E)+54C-120D+28E+8F=0 \\ -54(C-2D+E)+27C-72D+12E+4F=1 \end{array}\right.$

Раскрываем скобки:
$\left\{\begin{array} -11C+22D-11E+10C-20D+8E+F=0 \\ -45C+90D-45E+36C-74D+23E+5F=0 \\ -81C+162D-81E+54C-120D+28E+8F=0 \\ -54C+108D-54E+27C-72D+12E+4F=1 \end{array}\right.$

Приводим подобные слагаемые:
$\left\{\begin{array} -C+2D-3E+F=0\ \ \ (5) \\ -9C+16D-22E+5F=0 \\ -27C+42D-53E+8F=0 \\ -27C+36D-42E+4F=1 \end{array}\right.$

Из уравнения (5) выражаем переменную C и подставляем ее в остальные уравнения:
$\left\{\begin{array} C=2D-3E+F\ \ \ (6) \\ -9(2D-3E+F)+16D-22E+5F=0 \\ -27(2D-3E+F)+42D-53E+8F=0 \\-27(2D-3E+F)+36D-42E+4F=1 \end{array}\right.$

Раскрываем скобки:
$\left\{\begin{array} -18D+27E-9F+16D-22E+5F=0 \\ -54D+81E-24F+42D-53E+8F=0 \\ -54D+81E-27F+36D-42E+4F=1 \end{array}\right.$

Приводим подобные слагаемые:
$\left\{\begin{array} -2D+5E-4F=0 \ \ \ (7) \\ 12D-28E+19F=0 \\ 18D-39E+23F=-1 \end{array}\right.$

Домножаем уравнение (7) на 6 и на 9 и записываем получившиеся уравнения вместо уравнения (7):
$\left\{\begin{array} -12D+30E-24F=0 \ \ \ (8) \\ -18D+45E-36F=0 \ \ \ (9) \\ 12D-28E+19F=0 \ \ \ (10) \\ 18D-39E+23F=-1 \ \ \ (11) \end{array}\right.$

Складываем уравнения (8) и (10) а также уравнения (9) и (11):
$\left\{\begin{array} 2E-5F=0 \ \ \ (12) \\ 6E-13F=-1 \end{array}\right.$

Домножаем уравнение (12) на -3:
$\left\{\begin{array} -6E+15F=0 \ \ \ (13) \\ 6E-13F=-1 \ \ \ (14) \end{array}\right.$

Складываем уравнения (13) и (14):
$2F=-1 \\\ F=- \frac{1}{2}$

Подставляем значение переменной F в уравнение (14):
$6E-13\cdot(- \frac{1}{2})=-1 \\\ 6E+ \frac{13}{2}=-1 \\\ 6E=- \frac{15}{2} \\\ E=- \frac{15}{12}=- \frac{5}{4}$

Подставляем известные значения переменных в уравнение (7):
$-2D+5\cdot (- \frac{5}{4})-4\cdot(- \frac{1}{2})=0 \\\ D+ \frac{25}{8}-1=0 \\ D+ \frac{17}{8}=0 \\\ D=- \frac{17}{8}$

Подставляем известные значения переменных в уравнение (6):
$C=2\cdot(- \frac{17}{8})-3\cdot(- \frac{5}{4})- \frac{1}{2}=- \frac{17}{4}+\frac{15}{4}- \frac{2}{4} =- \frac{4}{4} =-1$

Подставляем известные значения переменных в уравнение (4):
$B=-1-2\cdot(- \frac{17}{8} )- \frac{5}{4} =-1+ \frac{17}{4} - \frac{5}{4} =-1+ \frac{12}{4} =-1+3=2$

Подставляем известные значения переменных в уравнение (2):
$A=-2-(- \frac{17}{8} )=-\frac{16}{8}+\frac{17}{8}=\frac{1}{8}$

Ответ: (1/8; 2; -1; -17/8; -5/4; -1/2)