Question

вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной указанными линиями (сделать чертеж)

Answer 1

Данная кривая задает эллипс.
Рисуем по точкам: (0;-3) (2;0) (0;3) и (-2;0)
При вращении вокруг оси Оу получим эллипсоид  вращения (похожий на дыню, мяч для игры в регби )
По формуле объем тела вращения вокруг оси Оу:

$V_{Oy} =\pi \int\limits^d_c {g ^{2}(y) } \, dy$

Выразим из данного уравнения х через у

$x= \sqrt{9(1- \frac{ y^{2} }{4} )}$

$V= \pi \int\limits^2_{-2} {9(1- \frac{ y^{2} }{4} )} \, dy =9\pi (y- \frac{y ^{3} }{12}) ^2_{-2}=9\pi (2-(-2)- \frac{8}{12}+(- \frac{8}{12}))=24\pi$
кв. ед.