Question

cos3x=cosx+$\sqrt{3}$sinx

Answer 1

$\cos3x=\cos x+\sqrt{3} \sin x \\\ \cos(2x+x)=\cos x+\sqrt{3} \sin x \\\ \cos2x\cos x-\sin2x\sin x=\cos x+\sqrt{3} \sin x \\\ (2\cos^2x-1)\cos x-(2\sin x\cos x)\sin x=\cos x+\sqrt{3} \sin x \\\ 2\cos^3x-\cos x-2\sin^2x\cos x=\cos x+\sqrt{3} \sin x \\\ 2\cos^3x-2\cos x-2(1-\cos^2x)\cos x=\sqrt{3} \sin x \\\ 2\cos^3x-2\cos x-2\cos x+2\cos^3x=\sqrt{3} \sin x \\\ 4\cos^3x-4\cos x=\sqrt{3} \sin x \\\ 4\cos x(\cos^2x-1)=\sqrt{3} \sin x \\\ -4\cos x\sin^2x=\sqrt{3} \sin x$
$4\cos x\sin^2x+\sqrt{3} \sin x=0 \\\ \sin x(4\cos x\sin x+\sqrt{3} )=0 \\\ \sin x=0 \\\ x_1= \pi n, \ n\in Z \\\ 4\cos x\sin x+\sqrt{3} =0 \\\ 2\sin2x+\sqrt{3} =0 \\\ \sin2x=- \frac{ \sqrt{3} }{2} \\\ 2x=(-1)^{k+1} \frac{ \pi }{3} + \pi k \\\ x_2=(-1)^{k+1} \frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi k}{2} , \ k\in Z$
Ответ: $\left[\begin{array} x_1=\pi n \\ x_2=(-1)^{k+1} \frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi k}{2} \end{array}\right.$, где n и k - целые числа