Question

Решите пожалуйста! Задание:вычислить определённый интеграл

Answer 1

Сперва упростим подынтегральное выражение, используя свойство степеней $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

$\int\limits^3_2 {\frac{3x^4 +2x^3}{x^2}} \, dx = \int\limits^3_2 {(\frac{3x^4}{x^2}+ \frac{2x^3}{x^2})} \, dx = \int\limits^3_2 {(3x^2+2x)} \, dx = (*)$

Затем воспользуемся свойствами интеграла $\int {(f(x) \pm g(x))} \, dx = \int {f(x)} \, dx \pm \int {g(x)} \, dx; \ \int {k \cdot f(x)} \, dx = k \cdot \int {f(x)} \, dx$

$(*) = \int\limits^3_2 {3x^2} \, dx + \int\limits^3_2 {2x} \, dx = 3 \cdot \int\limits^3_2 {x^2} \, dx + 2 \cdot \int\limits^3_2 {x} \, dx=(*)$

И наконец найдём первообразную и вычислим определённый интеграл, используя формулу $\int {x^n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \ (n \neq -1)$, а также формулу Ньютона-Лейбница $\int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b)-F(a)=\left.{ F }\right|_{ a }^{ b }$


$(*)= \left.{(3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2})}\right|_{ 2 }^{ 3 }=\left.{(x^3+x^2 )}\right|_{ 2 }^{ 3 }=(3^3 +3^2)-(2^3+2^2)=\\ \\ =(27+9)-(8+4)=36-12=24$

Answer 2

$\int\limits^3_2 {( \frac{3x^4+2x^3)}{x^2} } \, dx = \int\limits^3_2 {(3x^2+2x)} \, dx =$ x³+x²|₂³ = 27+9-8-4 = 36-12 = 24.

81c775184618d13110842fe463f61a5d.docx