Question

Решите пожалуйста! Задание: найти интервалы монотонности функции и экстремумы f(x)=x^3+3x^2-9x+1

Answer 1

Находим критические точки с помощью производной, приравняв её 0:
F' = 3x² + 6x -9 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=6^2-4*3*(-9)=36-4*3*(-9)=36-12*(-9)=36-(-12*9)=36-(-108)=36+108=144;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√144-6)/(2*3)=(12-6)/(2*3)=6/(2*3)=6/6=1;
x₂=(-√144-6)/(2*3)=(-12-6)/(2*3)=-18/(2*3)=-18/6=-3.
Теперь надо определить характер этих точек.
Для этого надо найти значения производной левее и правее точек и выяснить изменение значения производной.
х = 0   F' = -9
x = 2   F' = 3*4 + 6*2 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15
Знак производной меняется с - на +    - это  локальный минимум функции.
х = -4   F' = 3*16 - 6*4 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15.
x = -2   F' = 3*4 - 6*2 - 9 = 12 - 12 - 9 = -9.
Знак производной меняется с +- на -    - это  локальный максимум функции.
Интервалы монотонности функции:-∞<x<-3; 1<x<∞   функция возрастает,
-3<x<1                  функция убывает.

caf3c3ece697f5c913c2c8f17999a985.docx