Question

Длины ребер AB AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12 16 и 15 найдите расстояние от вершины А1 до прямой BD1

Answer 1

Рассмотрим треугольник А1BD1. Искомое расстояние будет длиной высоты этого треугольника, опущенной из вершины А1 на сторону BD1.
Для этого треугольника имеем: А1D1 = 15 (из условия)
А1В - гипотенуза прямоугольного треугольника А1АВ. Поскольку (из условия) катеты этого треугольника равны АА1=16, АВ=12, получаем А1В = квадратный корень(АА1^2 + AB^2) = кв. корень (16*16 +12*12) = кв. корень(400) = 20. Далее, поскольку А1D1 - сторона прямоугольного параллелепипеда, а A1B лежит на грани этого параллелепипеда, A1D1 перпендикулярна A1B, как и любой прямой, лежащей на этой грани. Следовательно, треугольник А1BD1 прямоугольный. Поскоьку его катеты А1В = 20 и А1D1 = 15, BD1 = кв. корень(A1B ^ 2 + A1D1 ^ 2) = 25.
Теперь опустим из вершины А1 на сторону BD1 высоту A1O. Тогда треугольник A1OD1 подобен треугольнику BA1D1 и значит A1O / A1D1 = A1B / BD1 = 4/5. Поскольку A1D1=15, A1O = 4/5 * 15 = 12
Ответ: расстояние от вершины А1 до прямой BD1 равно 12