Question

xy'=y-(x^2+y^2)^1/2 помогите найти общий интеграл дифференциального уравнения. 

Answer 1

Уравнение по виду - однородное.
Сделаем замену $y = tx$, где $t$ - неизвестная функция. Отсюда $y' = (tx)' = t'x + tx' = t'x + t$.
Тогда уравнение примет вид
$x(t'x + t) = tx - x \sqrt{t^2+1}$, 
или, после деления на $x$ и уничтожения $t$ в обеих частях,
$t'x = - \sqrt{t^2+1}$.
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Дальнейшие действия стандартные и не нуждаются в комментариях:
$x \frac{dt}{dx} = - \sqrt{t^2+1}, \\ -\frac{dt}{\sqrt{t^2+1} } = \frac{dx}{x} , \\ -\int {\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}} \, = \int { \frac{dx}{x} } \,$
$ln|x| = -ln|t+ \sqrt{t^2+1} | + ln|C| \\ ln|x| = ln| \frac{C}{t+ \sqrt{t^2+1} }| \\ x = \frac{C}{t+ \sqrt{t^2+1} }$
$x(t+ \sqrt{t^2+1} ) = C$
Делаем обратную подстановку и получаем общий интеграл:
$y + \sqrt{y^2 + x^2} = C$.
В процессе решения мы делили на x. Легко убедиться проверкой, что х = 0 является решением.