Question

Открытый бак цилиндрической формы должен вмещать 10л. При какой Высоте и радиусе основание бака на его изготовление уйдет наименьшее количество материалов.

Answer 1

Объем бака
V = pi*R^2*H = 10
H = 10/(pi*R^2)
Площадь боковой поверхности
S(бок) = 2pi*R*H = 2pi*R*10/(pi*R^2) = 20/R
Площадь основания
S(осн) = pi*R^2
Вся площадь поверхности
S = S(осн) + S(бок) = pi*R^2 + 20/R должна быть минимальна
Найдем производную и приравняем ее к 0.
S ' = 2pi*R - 20/R^2 = (2pi*R^3 - 20)/R^2 = 0
2pi*R^3 - 20 = 0
R^3 = 10/pi
R = корень куб(10/pi)
H = 10/(pi*R^2) = 10/pi*1/(кор.куб(100/pi^2)) = 10/pi*кор.куб(pi^2/100) =
= кор.куб(1000/pi^3*pi^2/100) = кор.куб(10/pi) = R
Ответ: высота бака равна его радиусу и равна кор.куб(10/pi)