Question

При каком наименьшем целом значении k вершина параболы y=kx^2-2x+4k лежит во второй четверти координатной плоскости?
Ответ: -1

Answer 1

При каком наименьшем целом значении k вершина параболы y=kx²-7x+4k лежит во второй четверти координатной плоскости?

Решение: Вершина параболы  вида у=ax²+bx+с находится в точке с координатам (хо;уо), где хо= -b/(2a), yo= a(xo)²+bxo+c.
В нашем случае a=k, b = -7.
xo = 7/k
Так как вершина находится во второй четверти то xo<0
     7/k< 0
Данное неравенство истинно для всех значений k∈(-∞; 0)
Так как k<0 , то искомая парабола направлена ветвями вниз.
Для того чтобы вершина параболы находилась во второй четверти нужно, чтобы она пересекала или касалась оси Ох или уравнение
                     kx²-7x+4k =0
имело два или один корень.
Это возможно если дискриминант квадратного уравнения больше или равен нулю.
                   D =(-7)² -4*4k*k = 49 -16k²
                   D ≥ 0
                  49-16k² ≥0
                  (7-4k)(7+4k) ≥ 0
                  (4k-7)(4k+7) ≤ 0
Значения k где сомножители меняют свой знак являются решением уравнения
                 (4k-7)(4k+7) = 0
4k-7 = 0                        4k+7 = 0
k =7/4=1,75                    k =-7/4=-1,75
Найдем решение неравенства по методу интервалов.
На числовой прямой отразим знаки определяемые по методу подстановки левой части неравенства.
              +         0         -         0         +
 --------------------!----------------!------------------
                        -1,75                1,75
Следовательно неравенство истинно для всех значений k∈[-1,75;1,75]
Поэтому вершина параболы находится во второй четверти если
k∈[-1,75;0)
Минимальное целое значение k=-1.

Ответ: -1