Question

Помогите с геометрией,срочно,пожалуйста!
Найти длину высоты треугольника ABC
проведенную из вершины B,
если A(1;-1;2),B(5;-6;2),C(1;3;1)
Если можно подробно :с

Answer 1

Ход решения: Найдем угол между векторами АВ и АС и затем найдем высоту BD как произведение модуля вектора АВ на синус найденного угла.
Модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²+z²)
Найдем координаты векторов AB и AC по координатам их концов. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала.
АВ{4;-5;0} и AC{0;4;-1}.
Модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²+z²). В нашем случае
|AB|=√(16+25+0)=√41.
|AC|=√(0+16+1)=√17.
Скалярное произведение векторов: (a,b)=x1•x2+y1•y2+z1*z2
(АВ,ВС)=0-20+0 =-20.
Но скалярное произведение можно записать еще как: (a,b)=|a|•|b|*cosα, отсюда
 cosα=(a,b)/|a|•|b| = -20/√(41*17) = -20/√697. Тогда
 sinα=√(1-(400/697)) = √(297/697).
|BD| =|AB|*sinα =√41*√(297/697) =√297/√17 = √5049/17 ≈ 4,2.

Второй вариант:
Уравнение прямой, проходящей через две точки:
(Х-Х1)/(X2-X1) =(Y-Y1)/(Y2-Y1)=(z-Z1)/(Z2-Z1). В нашем случае для прямой АС:  (Х-1)/0=(Y+1)/4=(Z-2)/(-1).
Числа, стоящие в знаменателях дробей в канонических уравнениях прямой, представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора этой прямой. Значит вектор нормали нашей прямой n{0;4;-1}, а его модуль (длина) |n|=√(0+16+1)=√17.
Имеем вектор АВ{4;-5;0}.
Найдем векторное произведение векторов n{0;4;-1} и AB{4;-5;0} - (это площадь параллелограмма, построенного на этих векторах):
             |i   j   k|
[n*AB]= |0  4 -1| = i(ny*az-nz*ay) - j(nx*аz-nz*аx) + k(nx*аy-ny*аx) =
             |4 -5  0|
=  0i-5i-0j-4j+0k-16k = -5i-4j-16k.
Модуль этого произведения равен √(25+16+256) = √297.
С другой стороны, эта площадь равна произведению искомой высоты на основание параллелограмма (направляющий вектор n): S=|n|*|BD|, отсюда высота BD равна S/|n| или в нашем случае:
|BD|= √297/√17 = √5049/17 ≈ 4,2.