Question

1) Скорость движения точки: V=(9t^2-8t) m\c. Найти путь, пройденный точкой за четвертую секунду.
2) Найти площадь фигуры, ограниченный линиями: y = 2x y = 0, x=4

Answer 1

1).

Вначале заметим, что первообразная скорости равна пройденному пути, откуда имеем следующее:        

$\displaystyle F(t) = 9 \cdot \frac{t^3}{3} - 8 \cdot \frac{t^2}{2} = 3t^3-4t^2$

Для того, чтобы найти путь, пройденной точкой за четвертую секунду, найдем путь, который точка прошла за четыре секунды и за три секунды, а затем из первого вычтем второе.              

$F(4) = 3t^3-4t^2 = 3 \cdot 4^3 - 4 \cdot 4^2 = 128$

$F(3) = 3t^3-4t^2 = 3 \cdot 3^3 - 4 \cdot 3^2 = 45$

Считаем разность:

$F(4) - F(3) = 128 - 45 = 83$

Ответ: точка прошла $\bold {83}$ метра за четвертую секунду.

2).

Для нахождения площади этой фигуры можно, во-первых, воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов:

$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \; dx = F(b) - F(a)$

В нашем случае (если приравнять $y=2x$ и $y=0$) $f(x)=2x$.

$b=4$ (как решение уравнения $2x=4$)

$a=0$ (как решение уравнения $2x=0$)

Найдем сам интеграл:

$\displaystyle \int\limits^4_0 { \Big(2x \Big)} \; dx = F(4) - F(0) = x^2 \; |^4_0 = 4^2 - 0^2 = 16$

Можно было пойти по-другому: изобразить все на координатной плоскости (смотрите вложенный файл) и по формуле площади прямоугольного треугольника $S = ab/2$ найти площадь $\triangle {ABC}$:

$\displaystyle S \Big ( \triangle {ABC} \Big ) = \frac{AC \cdot BC}{2} = \frac{4 \cdot 8}{2} = 16$

В обоих случаях получился одинаковый ответ!

Ответ: площадь фигуры равна $\bold {16}$.