Question

Найти производные функции:
y=$\sqrt{cos \sqrt{2x} }$
Прошу расписать весь ход решения. Заранее благодарю.

Answer 1

Формула: $(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Если $u=u(x)$ - функция, то $(\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}*u'$ .
В примере
       $y=\sqrt{cos\sqrt{2x}}=\sqrt{u},\; u=cos\sqrt{2x}.$

Поэтому $y'=\frac{1}{2\sqrt{cos\sqrt{2x}}}\cdot (cos\sqrt{2x})'$ .

Теперь под знаком штриха стоит функция косинус, которая тоже зависит не от переменной х, а от функции $(\sqrt{2x})$ . 

Применим формулу : $(cosu)'=-sinu\cdot u'$ .

В примере в качестве функции u cтоит $u=\sqrt{2x}$ .

$(cos\sqrt{2x})'=-sin\sqrt{2x}\cdot (\sqrt{2x})'$ .

А теперь опять получили производную от квадратного корня. И будем использовать 1 формулу для нахождения производной

 $(\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\; ,\; u=2x$

$(\sqrt{2x})'=\frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot (2x)'=\frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2$

Теперь всё объединим:

$y'=\frac{1}{2\sqrt{cos\sqrt{{2x}}}}\cdot (cos\sqrt{2x})'=\frac{1}{2\sqrt{cos\sqrt{2x}}}}\cdot (-sin\sqrt{2x})\cdot (\sqrt{2x})'=\\\\=\frac{1}{2\sqrt{cos\sqrt{2x}}}\cdot (-sin\sqrt{2x})\cdot \frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2=-\frac{sin\sqrt{2x}}{2\sqrt{cos\sqrt{2x}}\cdot \sqrt{2x}}}=\\\\=-\frac{sin\sqrt{2x}}{2\sqrt{2x\cdot cos\sqrt{2x}}}$