Question

Состояние некоторого объекта контролируется 27 датчиками. Наименьшее количество двоичных разрядов, необходимое для идентификации этих датчиков?
В ответе 5, от вас нужно подробное объяснение, как мы это получили.

Answer 1

Ну так при 4 двоичных разрядах, максимальное число которое может быть записано равно $1111_{2}=15_{10}$, что учитывая 0 т.е.(0000)
дает всего 16 возможных варианта номера датчика. (<27)
А для 5ти разрядов максимальное число
$11111_{2}=31_{10}$
Что с учетом комбинации 00000 дает 32 варианта, это даже с некоторым запасом.
Вообще число различных комбинаций K представленных N двоичными разрядами:
$K=2^N$
Отсюда и пляшем
Скажем надо пронумеровать M датчиков (нет M мало, пусть для определенности 100 датчиков).
Тогда наше число комбинаций должно быть больше M=100.
Неравенство получилось:
$K \geq M$
$2^N \geq 100$
Ну решаем елы-палы
$N \geq log_{2}(100)$]
Только ВНИМАНИЕ тут ЛОГАРИФМ ПО ОСНОВАНИЮ 2 (не десятичный (основание 10), не натуральный (основание e))
Возможно не каждый калькулятор его может посчитать "в лоб".
Тогда придется использовать основное логарифмическое тождество, чтобы перейти к другому основанию свести его к натуральному или десятичному. Например так
$log_{2}100= \frac{ln100}{ln2}$≈6,4
Если получилось дробное число, а так и будет, необходимо отбросить дробную часть,
а к целой части прибавить 1. (мы же не можем выделить скажем 0,1 разряда)
Итого в примере с 100 датчиками потребуется 7 разрядов.
Максимально возможное число комбинаций в этом случае составит 128, с запасом.