Question

интегралы.........................
$\int\limits { \frac{( x^{2} +1)dx}{ x^{3} -10 x^{2} +25x}$

Answer 1

$\int \frac{(x^2+1)dx}{x(x^2-10x+25)}=\int \frac{(x^2+1)dx}{x(x-5)^2}=I\\\\\frac{x^2+1}{x(x-5)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-5)^2}+\frac{C}{x-5}=\frac{A(x-5)^2+Bx+Cx(x-5)}{x(x-5)^2}\; \; \Rightarrow \\\\x=0,\; A=\frac{0+1}{(0-5)^2}=\frac{1}{25};\\\\x=5,\; B=\frac{5^2+1}{5}=\frac{26}{5};\\\\x^2\, |\, 1=A+C\, ;\; \; C=1-A=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25};$

$I=\int (\frac{1/25}{x}+\frac{26/5}{(x-5)^2}+\frac{24/25}{x-5})dx=\\\\=\frac{1}{25}\int \frac{dx}{x}+\frac{26}{5}\int (x-5)^{-2}dx+\frac{24}{25}\int \frac{dx}{x-5}=\\\\=\frac{1}{25}\cdot ln|x|+\frac{26}{5}\cdot \frac{(x-5)^{-1}}{-1}+\frac{24}{25}\cdot ln|x-5|+C=\\\\=\frac{1}{25}\cdot ln|x|-\frac{26}{5(x-5)}+\frac{24}{25}\cdot ln|x-5|+C$

P.S. Можно все коэффициенты  считать методом неопределенных коэффициентов. Здесь этим методом подсчитан только коэффициент С. А остальные с помощью придания переменным удобных значений (модификация метода неопред. коэффициентов).