Question

Найти вторую производную функции y=sin^2(x/3)

Answer 1

Это сложная функция, её производная находится по формуле $(u(v))'=u'(v) \cdot v'$

Табличные формулы нахождения производных $(\sin{x})'=\cos{x}, \ \ \ (\cos{x})'=-\sin{x}, \ \ \ (x^{n} )'=n \cdot x^{n-1}$

также применим формулу двойного угла $2 \cdot \sin{x} \cdot \cos{x}=\sin{2x}$
 
Найдём первую производную
$(\sin^2{\frac{x}{3}})'=2\sin{\frac{x}{3}} \cdot (\sin{\frac{x}{3}})' \cdot (\frac{x}{3})'=2\sin{\frac{x}{3}} \cdot \cos{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\sin{\frac{x}{3}} \cdot \cos{\frac{x}{3}=$$=\frac{1}{3}\sin{\frac{2x}{3}}$

Найдём вторую производную
$(\frac{1}{3}\sin{\frac{2x}{3}})'=\frac{1}{3} (\sin{\frac{2x}{3}})' \cdot (\frac{2x}{3})'=\frac{1}{3} \cos{\frac{2x}{3}} \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{9} \cdot \cos{\frac{2x}{3}}$