Question

1)Сторона правильного трикутника вписаного в коло дорівнює 4$\sqrt{6}$ см знайти сторону квадрата вписаного в це коло.
2)Знайдіть площу круга вписаного в квадрат площа якого дорівнює 12с$m^{2}$ (в квадраті)

Answer 1

Сторона прав. треугольника равнв  а, тогда его высота (медиана) равна:

$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}$

Радиус описанной окружности равен:

$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}\; \; \to \; \; R=\frac{4\sqrt6\cdot \sqrt3}{3}=\frac{4\sqrt2\cdot \sqrt3\cdot \sqrt3}{\sqrt3\cdot \sqrt3}=4\sqrt2$

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине её диаметра.А сторону квадрата можно найти из прямоугольного треугольника, составленного из стороны квадрата - гипотенузой,  и катетами - двумя половинками диагоналей (радиусами) :


$R^2+R^2=b^2\\\\2R^2=b^2\\\\b^2=2\cdot (4\sqrt2)^2=2\cdot 16\cdot 2=64\\\\b=\sqrt{64}=8$ 

2)  
       $S_{kvadrata}=12\\\\S=a^2\\\\a^2=12\; \; \to \; \; a=2\sqrt3$

Радиус вписанного круга равен половине стороны квадрата^

$r=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt3=\sqrt3\\\\S_{kryga}=\pi r^2=3\pi$