Question

Найдите все решения уравнения cos 2x+sin^2x=cos x.Укажите корни ,принадлежащие отрезку[-п;п]

Answer 1

$cos2x+sin^2x=cosx \\ cos^2x-sin^2x+sin^2-cosx=0 \\ cos^2x-cosx=0 \\ cosx(cosx-1)=0 \\ cosx= 0 =\ \textgreater \ x= \frac{\pi}{2}+\pi k, ~~k\in Z \\ cosx=1=\ \textgreater \ x=2\pi k, ~~k\in Z$
Найдем корни, принадлежащие промежутку [-π; π] путем решения двойного неравенства:
$-\pi \leq \frac{\pi}{2} +\pi k \leq \pi\\ -1- \frac{1}{2} \leq k \leq 1- \frac{1}{2} \\ -1,5 \leq k \leq 0,5$
При k=-1, х = $\frac{\pi}{2}-\pi =- \frac{\pi}{2}$
При k=0, x = 0
$-\pi \leq 2\pi k \leq \pi \\ -\frac{1}{2} \leq k \leq \frac{1}{2}$
При k=0, x=0
Ответ: $-\frac{\pi}{2}; 0$