Question

1)Решите уравнение $log_8(8^x+12)=2-x$
2)Решите неравенство $( \frac{1}{4}x^2+2x+3) \sqrt{2x+9} \leq 0$
помогите с алгеброй распишите подробно  латеске либо на листе

Answer 1

$1)log_8(8^x+12)=2-x$
У логарифма вида  $log_ab$  есть область допустимых значений (ОДЗ)
$\begin{cases}b\ \textgreater \ 0\\a\ \textgreater \ 0 \\ a \neq 1\end{cases}$
ОДЗ стоит учитывать, при записи ответа. Найдем ОДЗ:
$8^x+12\ \textgreater \ 0\\8^x\ \textgreater \ -12\\x\in R$

$log_8(8^x+12)=2-x\\8^x+12=8^{2-x}\\8^x-8^2*\frac{1}{8^x}+12=0\\8^x-\frac{64}{8^x}+12=0\\8^x=t,t\ \textgreater \ 0\\t-\frac{64}t+12=0\\t^2-64+12t=0\\t^2+12t-64=0\\D=12^2+4*64=144+256=400\\\\t_1=\frac{-12+20}2=\frac{8}2=4\\\\t_2=\frac{-12-20}2=\frac{-32}2=-16\notin(t\ \textgreater \ 0)\\\\t=4\\8^x=4\\2^{3x}=2^2\\3x=2\\x=\frac{2}3$

$2)(\frac14x^2+2x+3)\sqrt{2x+9} \leq 0$

Для выражений с корнем следует найти область допустимых значений(ОДЗ). Подкоренное выражение четного корня всегда больше или равно 0.
$\sqrt[2n]{a}\\a \geq 0$
Найдем ОДЗ:
$2x+9 \geq 0\\2x \geq -9\\x \geq -4.5$

$(\frac14x^2+2x+3)\sqrt{2x+9} \leq 0$
Подкоренное выражение всегда больше или равно 0, поэтому его можно сократить, при этом $x=-4.5$ пойдет в ответ.
$\frac14x^2+2x+3\leq 0\\x^2+8x+12 \leq 0\\D=64-4*12=16\\\\x_1=\frac{-8+4}2=-\frac{4}2=-2\\\\x_2=\frac{-8-4}2=-\frac{12}2=-6\\\\(x+2)(x+6) \leq 0$
Метод интервалов: $x\in[-6;-2]$
С учетом ОДЗ и $x=-4.5$ Ответ: $x\in[-4.5;-2]$