Question

 Исследовать функцию на монотонность и экстремумы. ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА

$y=e^{2x+1}(frac{1}{2}-4x^2-x)$

Answer 1

$y=e^{2x+1}(frac{1}{2}-4x^2-x)\ y'=2e^{2x+1}(frac{1}{2}-4x^2-x) + e^{2x+1}(-8x-1)=\ =e^{2x+1}(1-8x^2-2x-8x-1)=e^{2x+1}(-8x^2-10x)\ y'=0\ e^{2x+1}(-8x^2-10x)=0\ e^{2x+1}=0 -2x(4x+5)=0\ net resheniy x=0, x=-frac{5}{4}$

точки 0 и -5/4 разбивают коорлдинатную прямую на 3 промежутка. возьмем любое число из каждого промежутка и определим знак производной.
x < -5/4, x > 0 - производная <0, следовательно, функция убывает 

-5/4 < x < 0 - производная > 0, следовательно, функция возрастает

x = -5/4 - точка минимума

x = 0 - точка максимума

Answer 2

$y'=(e^{2x+1}(frac{1}{2}-4x^2-x))'=(e^{2x+1})'(frac{1}{2}-4x^2-x)+ \ +e^{2x+1}(frac{1}{2}-4x^2-x)'=2e^{2x+1}(frac{1}{2}-4x^2-x)+e^{2x+1}(-8x-1)= \ =e^{2x+1}(1-8x^2-2x)+e^{2x+1}(-8x-1)=e^{2x+1}(-8x^2-10x)= \ =-x*e^{2x+1}(8x+10) \ y'=0 \ -x*e^{2x+1}(8x+10)=0 \ x_1=0 \ 8x+10=0 \ x_2=-frac{10}{8}=-frac{5}{4}=-1,25$

Функция возрастает на промежутке (-1,25; 0) (y'>0) и убывает $(-infty; -1,25)cup(0; +infty)$ y'>0

$y_{max}=y(0)=e^{2*0+1}(frac{1}{2}-4*0^2-0)=e*frac{1}{2}=frac{e}{2}approx1,36 \ y_{min}=y(-1,25)=e^{2*(-1,25)+1}(frac{1}{2}-4*(-1,25)-(-1,25))= \ =e^{1,5}*6,75approx30,25$