Question

Применение производной к решению задач на оптимитизацию.
Необходимо изготовить деревянный короб с квадратным дном для приема цемента объемом 3200 м3. Каковы должны быть размеры этого короба, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Answer 1

пусть х сторона основания короба, тогда 3200/х² - его высота
П=х²+4*х*3200/х²=х²+12800/х
П'=2x-12800/x²
2x-12800/x²=0
12800/x²=2x
x³=6400
x=18,5
найдем высоту 3200/344,7=9,28

Answer 2

Объём равен V=la^2, где l - высота, а - длина основания квадрата.
l=V/a^2 площадь короба будет S=a^2+4al;
S=a^2+4a*(V/a^2);
S=a^2+4V/a
Чтобы найти минимум этой функции, возьмём первую производную и приравняем её к нулю.
S'=2a-4V/a^2;
2a-4V/a^2=0;
4V=2a^3;
a^3=2V;
a=CBRT(2v)
a=CBRT(2*3200);
a=18,56 м (округлённо)
высота короба будет: l=3200/(18,56^2); l=9,28 м (округлённо)