Question

Даны вершины треугольника А (-1; -2; 4), В (-4; -2; 0) и С (3; -2; 1). Найти: его периметр, площадь и величину угла C.

Answer 1

$A(-1,-2,4)\; ;\; B(-4,-2,0)\; ;\; C(3,-2,1)\\\\1)\; P=|AB|+|AC|+|BC|\\\\|AB|=\sqrt{(-4+1)^2+(-2+2)^2+(0-4)^2}=\sqrt{(-3)^2+0^2+(-4)^2}=\\\\=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\\\|AC|=\sqrt{(3+1)^2+(-2+2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{4^2+0^2+(-3)^2}=5\\\\|BC|=\sqrt{(3+4)^2+(-2+2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{7^2+0^2+1^2}=\\\\=\sqrt{50}=5\sqrt2\\\\P=5+5+5\sqrt2=5(2+\sqrt2)$

$2)\; |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2-2\cdot |AC|\cdot |BC|\cdot cosC\\\\25=25+50-2\cdot 5\cdot 5\sqrt2\cdot cosC\\\\25=75-50\sqrt2\cdot cosC\\\\cosC=\frac{75-25}{50\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\; \; \to \; \; \ \textless \ C=45^\circ$

$3)\; sinC=sin45^\circ =\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\\\\S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AC|\cdot |BC|\cdot sinC=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{25}{2}$