Question

2cos2x+4√3cosx-7=0 решите уравнение,и укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [$5 \pi /2;4 \pi$]

Answer 1

$2cos2x+4 \sqrt{3} cosx-7=0$

$2(2cos^2x-1)+4 \sqrt{3} cosx-7=0$

$4cos^2x-2+4 \sqrt{3} cosx-7=0$

$4cos^2x+4 \sqrt{3} cosx-9=0$

Замена:  $cosx=t,$  $| t | \leq 1$

$4t^2+4 \sqrt{3} t-9=0$

$D=(4 \sqrt{3} )^2-4*4*(-9)=48+144=192$

$t_1= \frac{-4 \sqrt{3} +8 \sqrt{3} }{8} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$t_2= \frac{-4 \sqrt{3} -8 \sqrt{3} }{8} = - \frac{ 3\sqrt{3} }{2}$  - не подходит

$cosx= \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$x=$ ± $arccos \frac{ \sqrt{3} }{2} +2 \pi k,$ $k$ ∈ $Z$

$x=$ ± $\frac{ \pi }{6} +2 \pi k,$ $k$ ∈ $Z$

$1)$

$x= \frac{ \pi }{6} +2 \pi k,$ $k$ ∈ $Z$

$k=0,$  $x= \frac{ \pi }{6}$ ∉ $[ \frac{5 \pi }{2};4 \pi ]$

$k=1,$  $x= \frac{ \pi }{6} +2 \pi = \frac{13 \pi }{6}$ ∉ $[ \frac{5 \pi }{2};4 \pi ]$

$k=2,$  $x= \frac{ \pi }{6} +4 \pi = \frac{25 \pi }{6}$ ∉ $[ \frac{5 \pi }{2};4 \pi ]$

$2)$

$x=- \frac{ \pi }{6} +2 \pi k,$ $k$ ∈ $Z$

$k=0,$  $x=- \frac{ \pi }{6}$ ∉ $[ \frac{5 \pi }{2};4 \pi ]$

$k=1,$  $x=- \frac{ \pi }{6} +2 \pi = \frac{11 \pi }{6}$ ∉ $[ \frac{5 \pi }{2};4 \pi ]$

$k=2,$  $x= -\frac{ \pi }{6} +4 \pi = \frac{23 \pi }{6}$ ∈ $[ \frac{5 \pi }{2};4 \pi ]$

$k=3,$  $x=- \frac{ \pi }{6} +6 \pi$ ∉ $[ \frac{5 \pi }{2};4 \pi ]$