Question

Помогите решить определенный интеграл
$\int\limits^ \pi _0 {(1-8 x^{2} )cos4x} \, dx$
вместо пи,там 2пи

Answer 1

Вычисляем бесконечный интеграл: 
$\int \left(1-8x^2\right)\cos \left(4x\right)dx$
Интегрируем по частям: 
$u=\left(1-8x^2\right),\:\:u'=-16x,\:\:v'=\cos \left(4x\right),\:\:v=\frac{\sin \left(4x\right)}{4}$
Получаем интеграл:
$=\left(1-8x^2\right)\frac{\sin \left(4x\right)}{4}-\int \left(-16x\right)\frac{\sin \left(4x\right)}{4}dx$
$=\frac{\left(1-8x^2\right)\sin \left(4x\right)}{4}-\int \:-4x\sin \left(4x\right)dx$
Рассмотрим интеграл: 
$\int \:-4x\sin \left(4x\right)dx=-4\int \:x\sin \left(4x\right)dx$
Применим интегрирования по частям: 
$u=x,\:\:u'=1,\:\:v'=\sin \left(4x\right),\:\:v=-\frac{\cos \left(4x\right)}{4}$
Получаем: 
$=-4\left(x\left(-\frac{\cos \left(4x\right)}{4}\right)-\int \:1\left(-\frac{\cos \left(4x\right)}{4}\right)dx\right)$
$=-4\left(-\frac{x\cos \left(4x\right)}{4}-\int \:-\frac{\cos \left(4x\right)}{4}dx\right)$
$=-4\left(-\frac{x\cos \left(4x\right)}{4}-\left(-\frac{1}{4}\int \cos \left(4x\right)dx\right)\right)$
Делаем замену: 
$u=4x:\quad \quad du=4dx,\:\quad \:dx=\frac{1}{4}du$
Получаем:
$=-4\left(-\frac{x\cos \left(4x\right)}{4}-\left(-\frac{1}{4}\int \cos \left(u\right)\frac{1}{4}du\right)\right)$
$=-4\left(-\frac{x\cos \left(4x\right)}{4}-\left(-\frac{1}{4}\frac{1}{4}\int \cos \left(u\right)du\right)\right)$
$=-4\left(-\frac{x\cos \left(4x\right)}{4}-\left(-\frac{1}{4}\frac{1}{4}\sin \left(u\right)\right)\right)$
Делаем обратную замену:
$\:u=4x$
Получаем: 
$=-4\left(-\frac{x\cos \left(4x\right)}{4}-\left(-\frac{1}{4}\frac{1}{4}\sin \left(4x\right)\right)\right)=4\left(\frac{\sin \left(4x\right)}{16}-\frac{x\cos \left(4x\right)}{4}\right)$

Получаем общее решение интеграла: 
$=\frac{\left(1-8x^2\right)\sin \left(4x\right)}{4}-\left(-4\left(\frac{\sin \left(4x\right)}{16}-\frac{x\cos \left(4x\right)}{4}\right)\right)$
$=\frac{\left(1-8x^2\right)\sin \left(4x\right)}{4}+4\left(\frac{\sin \left(4x\right)}{16}-\frac{x\cos \left(4x\right)}{4}\right)$
Теперь подставляем границы интегрирования в полученный интеграл:
$\int _0^{2\pi }\left(1-8x^2\right)\cos \left(4x\right)dx=-2\pi -0=-2\pi$