Question

помогите решить интеграл

dx/(3+sqrt(x+5))

Answer 1

Решаем интеграл: 
$\int \frac{1}{3+\sqrt{x+5}}dx$
Сделаем замену: 
$u=x+5:\quad \quad du=1dx,\:\quad \:dx=1du$
Получаем:
$=\int \frac{1}{3+\sqrt{u}}1du=\int \frac{1}{\sqrt{u}+3}du$
Сделаем ещё одну замену: 
$v=\sqrt{u}:\quad \quad dv=\frac{1}{2\sqrt{u}}du\quad \:dv=\frac{1}{2v}du,\:\quad \:du=2vdv$
Получаем:
$=\int \frac{1}{v+3}2vdv=\int \:2-\frac{6}{v+3}dv=\int \:2dv-\int \frac{6}{v+3}dv$
Решая два интеграла, находим: 
$=2v-6\ln \left(v+3\right)$
Делаем обратную замену: 
$\:v=\sqrt{u},\:u=x+5$
Получаем окончательный ответ: 
$=2\sqrt{x+5}-6\ln \left(\sqrt{x+5}+3\right)+C$