Question

При подготовке к экзамену студент за t дней изучает t/t+k-ю часть курса, а забывает at-ю часть.Сколько дне нужно затратит на подготовку,чтобы была изучена максимальная часть курса? k=1/2,a=2/49

Answer 1

Составим функцию: $F(t)=\frac{t}{t+\frac{1}{2}}- \frac{2}{49}t= \frac{2t}{2t+1} -\frac{2}{49}t$

Найдём производную этой функции, используя формулы $(\frac{u}{v})'=\frac{u'\cdot v - u \cdot v'}{v^2}; \ \ \ \ (x^n)'=n \cdot x^{n-1}$
а также свойство: $(u+v)'=u'+v'$


$F'(t)= (\frac{2t}{2t+1} - \frac{2}{49}t)'=(\frac{2t}{2t+1})' - (\frac{2}{49}t)'=\frac{2\cdot(2t+1) - 2t \cdot 2}{(2t+1)^2}- \frac{2}{49}=\\ \\ =\frac{4t+2-4t}{(2t+1)^2}-\frac{2}{49}=\frac{2}{(2t+1)^2}-\frac{2}{49}$

Приравняем производную функции к нулю:
$\frac{2}{(2t+1)^2}-\frac{2}{49}=0; \ \ \frac{2}{(2t+1)^2}=\frac{2}{49}; \\ \\ 2 \cdot (2t+1)^2 =98; \ \ 2 \cdot (4t^2 +4t+1)=98; \ \ \ 8t^2 +8t +2 -98=0; \\ \\ 8t^2 +8t -96=0; \ \ \ t^2 +t-12=0; \ \ t_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1 +48}}{2}=\frac{-1 \pm 7}{2} \\ \\ t_1 =3; \ \ t_2=-4 \ \ (t\ \textgreater \ 0)$

Ответ: 3 дня