Question

Найти все неотрицательные значения параметра a, при каждом из которых неравенство выполняется для всех значений x:
a^3*x^4+6*a^2*x^2-x+9a+3>=0
Желательно как можно подробней расписать решение.

Answer 1

$a^3x^4+6a^2x^2-x+9a+3=a(a^2x^4+6ax^2+9)-x+3=\\ =a(ax^2+3)^2-ax^2+(ax^2-x+3)=\\ =a((ax^2+3)^2-x^2)+(ax^2-x+3)=\\ =a(ax^2-x+3)(ax^2+x+3)+(ax^2-x+3)=\\ =(ax^2-x+3)(a^2x^2+ax+3a+1).$
Дискриминанты этих квадратных множителей равны $1-12a$ и $-3a^2(4a+1)$ соответственно. Значит, при a>0 второй множитель не имеет корней и всегда положителен (т.к. его дискриминант отрицателен), а первый множитель неотрицателен при любых х только в случае $1-12a\leq 0$, т.е. $a \geq 1/12$. Ответ: $a\in[{1\over 12},\infty).$