Question

38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x2+9, y = 0.
39. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2,
y = 4x – 3.

Answer 1

38) Определяем пределы интегрирования:
-х² + 9 = 0
х² = 9
х₁ = 3
х₂ = -3.
$\int\limits^3_ {-3}(-x^2+9) \, dx = \frac{-x^3}{3} +9x| _{-3} ^{3} =$
=-9+27-(-(-9)-27) = 18+18 = 36 кв.ед.

39)  Определяем пределы интегрирования:
х² = 4х - 3
х² - 4х + 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-4)^2-4*1*3=16-4*3=16-12=4;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√4-(-4))/(2*1)=(2-(-4))/2=(2+4)/2=6/2=3;
x₂=(-√4-(-4))/(2*1)=(-2-(-4))/2=(-2+4)/2=2/2=1.
Так как прямая  у = 4х - 3  проходит на отрезке 1...3 выше параболы х², то для определения площади между ними надо из 4х - 3 вычесть х²: $\int\limits^3_1 {(4x-3-x^2)} \, dx =2x^2-3x- \frac{x^3}{3}|_{1} ^{3} =$ 18 - 9 - 9 -(2 - 3 - (1/3)) = 1 1/3 = 4/3 ≈ 1.3333.