Question

Через точку I пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные AC и BC, которые пересекают AB в точках P и Q. Известно, что AB=12, BC=15, CA=17. Найдите периметр треугольника PQI.

Answer 1

При пересечении двух параллельных прямых АС и РI секущей АI образуются равные накрест лежащие углы  <CAI=<AIP.
Т.к. АI - биссектриса, то <CAI=<PAI. Из этого следует, что углы при основании <AIP=<РAI, значит ΔАРI - равнобедренный (AP=РI).
Аналогично при пересечении двух параллельных прямых ВС и QI секущей BI образуются накрест лежащие углы  <CBI=<QIB.
Т.к. ВI - биссектриса, то <CВI=<QBI. Из этого следует, что углы при основании <QIB=<QBI, значит ΔQBI - равнобедренный (QB=QI).
Периметр ΔРQI равен:
Рpqi=PI+PQ+QI=AP+PQ+QB=AB=12